相似三角形的判定与性质(2)——相似（6）——尖子生之路[九下系列]
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相似三角形的判定与性质(2)——相似（6）
【例题】如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求DE的长．
【解答】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8，
∵△ADF∽△DEC，
∴AD/AF＝DE/DC，
∴DE＝AD×CD/AF＝…＝12．
（相关数据代入计算即可）
【反思】熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质是解题的关键．
后面还有……，请继续哦！
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【拓展1】如图,在平行四边形ABCD中,AB=12,AD=18,∠BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=8√2,求△CEF的周长.
【解析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似的性质求△CEF的周长．如下图示，
不难得到△ABE的周长＝12+12+8＝32，同时可求得CF＝6，再由平行四边形ABCD可得：AB∥CD，进一步得到△CEF∽△BEA，相似比为CF：AB＝6：12＝1：2.
再利用相似三角形的周长比等于相似比，可得△CEF的周长＝32×1/2＝16.具体解答过程如下：
【解】∵在平行四边形ABCD中,AB=CD=12,AD=BC=18,∠BAD的平分线交BC于点E，
∴△ADF是等腰三角形，AD=DF=18.
∵AB=BE=12,∴CF=6.
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=12，BG=8×根号2，由勾股定理，可得AG=4.
又∵BG⊥AE，
∴AE=2AG=8.
∴△ABE的周长等于32.
又∵在平行四边形ABCD中,AB∥CD,
∴△CEF∽△BEA,相似比为1：2.
∴△CEF的周长为16．
【反思】注意平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识灵活运用，特殊注意相似三角形的周长比等于相似比．
【拓展2】如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，且交AB于E，DB与CE相交于O，已知AB=6，BC=4，求OB/DB的值.
【解析】如下图示：
∵CE是∠DCB的平分线，
在平行四边形ABCD中，DC∥AB
∴∠DCO=∠BCE，∠DCO=∠BEC
∴∠BEC=∠BCE ∴BE=BC=4
∵DC∥AB ∴△DOC∽△BOE
∴OB：OD=BE：CD=2：3
即OB：DB＝2：5.
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